# 以太坊黄皮书公式解析（上）

By [DavidCai.eth](https://paragraph.com/@davidcai) · 2022-01-10

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前言与版本
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笔者最近在结合[以太坊黄皮书](https://ethereum.github.io/yellowpaper/paper.pdf)读[以太坊源码](https://github.com/ethereum/go-ethereum)，结合自己的理解解析下黄皮书内的公式，与大家共同学习进步，若大家在阅读以太坊黄皮书时，对公式产生理解上的困惑，可以参阅本文一起看。文章基于当前（2022/1/10）的黄皮书，版本号为 `BERLIN VERSION fabef25` ，若有不准确之处，欢迎指出。由于该黄皮书内除附录外有 183 个公式，为了让文章篇幅不过长，该解析会由三部分组成一个系列，每个系列解析约 60 个公式，本文为上篇。

公式解析
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![(1)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/f1dc5dc20a65d4a7a5f699fc78431404f9cafaab4bca2d8ce3cf2996f6145dc6.png)

(1)

*   σ 为以太坊世界状态。
    
*   Υ 为以太坊状态转换函数。
    
*   T 为一个交易。
    

上述公式阐述的是，以太坊是一个基于交易而改变状态的状态机。即每进来一个交易，都会改变一次以太坊的旧世界状态，从而进入一个新世界状态。

![(3)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/34e59d8825abf071bc7ef94b0bcec833940ace33ef745d856932dafb1b7e326b.png)

(3)

*   B 为一个区块。
    
*   T0, T1, ... 为一组交易。
    

在实际运作时，基于效率考量，以太坊是批量处理交易的，一个批次的交易，会被打包在一个区块中，这就是 (3) 公式的含义。

![(2)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/f38eb419c89b18932ff71d171478c8737e15a8c155541408ecc90452bc35b976.png)

(2)

*   Π 表示区块层面上的状态转换函数。
    

上述公式即是 (1) 的批量处理版本，以太坊的世界状态通过区块（即一组交易）批量更新。

![(4)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/46bed290a1079ec5f650bf86fb9d8b032d3bb4b61beb99f46e550220023e7313.png)

(4)

*   Ω 为区块确定性状态转换函数，会奖励挖到区块的节点。
    

这个公式看似有点复杂，让我们逐步解析。等式的左边 `Π(σ, B)` 即是公式 (2) 的 `σt+1`，就是以太坊的下一个世界状态。等式右边的 `Υ(Υ(σ, T0), T1)...` 表示的是，交易会被逐个执行，每一个交易的结束状态，都会是下一个交易的开始状态。故 `Ω(B, Υ(Υ(σ, T0), T1)...)` 表达的是，逐个执行完区块内的所有交易后，以太坊还会给与挖到区块的节点奖励，这就意味着，以太坊的世界状态，完成了一次基于区块的状态更新。

![(5)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/e15c14fa2cc5f9bc549dd99dac09cc816280102006d2f866c88795d022b55c0e.png)

(5)

*   β 为以太坊的 `chain_id`。
    

公式 (5) 表达的是以太坊主网的 `chain_id` 是 1 。目前以太坊除了使用 `network_id` 来区分环境外，还使用 `chain_id` 来区分同一环境内的不同分叉。例如，以太坊和经典以太坊的 `network_id` 都是 `1` ，但是 `chain_id` 分别是 `1` 和 `61` 。

![(6)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/7c72fe6f7aa2576b8f50d1627c284b7a2a86df73d453dddfd1bac795bc87b1da.png)

(6)

*   l 函数表示取一个序列内的最后一项。
    

公式 (6) 就是对 l 函数的定义，比较直观，直接取 l(x) 就是取 x 序列的最后一项。

![(8) (9)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/7f304e0233271f0d626e90dc30642cc7db2f5c1d7389385367aeda246728ee43.png)

(8) (9)

公式 (8) 中的 LI 函数定义一个对键值对的变换，即将键（k）进行 [Keccak-256](https://ethereum.stackexchange.com/questions/11572/how-does-the-keccak256-hash-function-work) 哈希，对值进行 [RLP](https://github.com/ethereum/wiki/wiki/RLP) 编码。公式 (9) 则对键值的类型和范围做了限定。由于 Keccak-256 哈希和 RLP 编码的特性，键只会是长度为 32 的字节序列，值只会是正整数（在很多文章和代码示例中我们通常看到的是其十六进制表示）。

![(7)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/7f8d8b95151fa895761daf48862e1db1f85aeececd15b607cc906fd6ac4f3d5d.png)

(7)

*   σ\[a\]s 为以太坊账户的 storageRoot ，是一个 256 位的哈希值，表示保存该账户存储数据的 [Merkle Patricia 树](https://eth.wiki/fundamentals/patricia-tree) 的根节点哈希值。由于这种树的特性，其根节点就相当于其所有叶子数据的状态快照，任意一个叶子状态的改变，都会改变根节点的哈希值。
    

公式 (7) 表达的就是，以太坊的 storageRoot 值保存的是对账号数据（键值对）进行 LI 函数转换后，存入 Merkle Patricia 树之后的，根节点哈希值。

![(11)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/e5a80d7cd9c264502cb34ca8d2b883229f8f6701650f8c927e3f97e8712f31c9.png)

(11)

*   KEC(a) 为账号地址（公钥）。
    
*   σ\[a\]n 为账户的 nonce 值，当账户是合约账户时，该值表示该合约部署的合约数，当时外部账户时，该值表示历史交易次数。
    
*   σ\[a\]b 为账户的 balance 值，即账户余额，以 wei 为单位。1^18 wei = 1 ETH。
    
*   σ\[a\]s 为账户的 storageRoot ，上文已经阐述。
    
*   σ\[a\]c 为账户的 codeHash 值，若账户是外部账号，则该值为空，若是合约账户，则是编译后的 EVM 执行代码的 Keccak-256 哈希值。
    

公式 (11) 表示，一个账号在以太坊内，由一个账号地址，和 4 个状态值（存储时会被 RLP 编码）组成。

![(10)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/cdee685d66f86c57366edb4c1e0966bb8c979da6134a58543464d23597ea4757.png)

(10)

*   Ls(σ) 为以太坊世界状态函数。
    

公式 (10) 表示，以太坊世界状态，由所有的非空账号组成（若一个账号创建后，还未执行过交易，那么是不会被以太坊记录的）。

![(13)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/6547dfe40bc16906cfe8c8eb24f4822b37eae21f926ab5e3525e8fa5e8282add.png)

(13)

*   v 为以太坊的账号有效性函数。
    

公式 (13) 表示，一个有效的以太坊账号，nonce 和 balance 都是比 2^256 小的正整数，storageRoot 和 codeHash 都是长度为 32 的字节序列。

![(12)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/29e5d68cc04f598ec568e8e616a7d6cba6c7caeb9e22e999d6e76321d5db8ced.png)

(12)

倒写的 “A” 此处的含义为“对于任意”，即意思是，对于在以太坊内的所有账号，要么是空账号，要么是有一个 20 字节长度地址并且符合公式 (13) 有效性函数的账号。

![(14)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/8383b2214021b616eeccfac219940171c8cd3f162a37e3d4a49026cbfe9143eb.png)

(14)

公式 (14) 给“空账号”下了定义，即 codeHash 为空字符串的 Keccak-256 哈希值，且 nonce 和 balance 都是 0 的账号。

![(15))](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/6e1c25ceca1459c60d0647ffe708d5de8a773b0a5fa2e05268e75762e82d3eb8.png)

(15))

公式 (15) 给“死账号”下了定义，当一个账号状态不存在或为空时，那么就是“死账号”。

![(17)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/47adb12a8fbc3658482b850a53f7d51d45d4d835b5d4ae7322ddf64f62aa22ee.png)

(17)

*   Tn 为交易的 nonce 值，为交易发送者发出过的交易数量。
    
*   Tv 为交易者发送的以太币数量，以 Wei 为单位。
    
*   Tp 为交易的 gasPrice 值，指交易者愿意给矿工付出的 gas 单价，以 wei 为单位。
    
*   Tg 为执行这个交易允许消耗的最大以太币数量，以 wei 为单位。
    
*   Tw，Tr，Ts 是与交易者签名相关的 v，r，s 值，用于验证交易者。
    
*   Td 为交易的 data 字段，若交易是执行合约函数，那么 data 值里存储的就是合约函数的入参。
    
*   Ti 为交易的 EVM 执行码，仅交易是创建合约时，会执行一次。
    

公式 (17) (18) 对交易中各字段进行了约定，必须符合约定，才是合法交易。即 Tn，Tv，Tp，Tg，Tw，Tr，Ts 是比 2^256 小的正整数，Td，Ti 都是字节（bytes）类型。

![(16)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/e77c43ba1cbd404df548b45af66cc92b04ff9aed5873a04bb38fe790d19c7407.png)

(16)

公式 (16) 表示，若交易要么是一个创建合约交易，会包含 init 字段，若不是，则会包含 data 字段。

![(19)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/80fc9183eff4afb3ba0ee2e52e0792f67abf661270ade76267a8ed8bec135fa5.png)

(19)

*   Tt 为交易的 to 值，即合约地址。
    

公式 (19) 对 to 值进行了定义，当时创建合约时，to 值为空，否则会是一个长度为 20 的字节。

![(20)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/7429dcedd9c99901b9344f305e44d11e7159c465787f5276d08a61a7afbd3871.png)

(20)

*   Bu 为区块头。
    
*   Bt 为区块内打包的交易。
    
*   Bu 为叔块列表。
    

公式 (20) 即表示一个区块由上述三部分组成。

![(21)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/44b20ea25051f98c32e4c0e2ceefde77e2bb6737c0916aa7008917e56352d150.png)

(21)

*   Ru 为区块中所有交易执行完后，使用的 Gas 数量。
    
*   Rl 为交易过程中创建的日志集合。
    
*   Rb 为日志信息所构成的布隆过滤器。
    
*   Rz 为交易的状态码，1表示成功，0表示失败。
    

公式 (21) 即表示一个交易收据由上述四部分组成。公式 (22) (23) 限定了这些值的类型，状态码 Rz 和 Gas 开销 Ru，需为正整数，布隆过滤器 Rb 是个长度为 256 的字节。

![(24) (25)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/57022bf41776f9541fccd13253a45ed15d66ec0ff3b106c810021c20aae23424.png)

(24) (25)

*   O 表示一个日志。
    
*   Oa 为创建日志的账户。
    
*   O0，O1... 为具体日志。
    
*   Od 为相关日志数据（在 solidity 中表现为未被标注 indexed 的参数）。
    

公式 (24) (25) 定义了以太坊日志的结构，一个以太坊日志集合 Rl 由一系列日志项 O 组成，每一个日志项由上述三部分组成。且 Oa 为长度为 20 的字节，任意 O0，O1 ... 都是长度为 32 的字节，Od 为字节类型。

![(27) (28) (29) (30)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/8d8892ceb4395d16123a7339ed85ca466043e636c2bec8663bd4c7460eff2631.png)

(27) (28) (29) (30)

这组公式，是一个[布隆过滤器](https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom_filter)的定义，简单来说就是一种以 O(1) 时间复杂度来查询一个元素是否存在于一个集合中的方法，查询时可以保证一个元素 100% 不存在，但不可保证一个元素 100% 存在。宏观定义如公式 (27) ，以太坊的布隆过滤器，会将任意输入字节经过 Keccak-256 哈希后得到的长度为 2048 的比特经过计算获取三个数，然后将一个空的长度为 2048 的比特（256 字节）在索引为那三个数的地方，置 1 ，即结果 y。公式 (28) 表示了 y 值初始时为一个空的长度为 2048 的比特（256 字节）。公式 (29) (30) 表示，在把输入经过 Keccak-256 哈希后，取 0，2，4 这三位，并将他们分别于 1，3，5 三位拼接成 uint64，然后与 2048 取余，这三个数即是要将 y 这个 bit map 中置 1 的索引位置。

![(26)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/9d6e04c03d277f6a9ee8e6dfb73b0ac41f9747d0a1b526b510a4acac8ce7df6b.png)

(26)

*   Ot 为日志主题。
    

公式 (26) 在宏观上定义了以太坊收据的布隆过滤器函数，查询时首先会判断日志生产者的地址，然后会根据公式 (27) 查询日志主题。

![(32)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/dbc495ba4d211a357d961b4be0612890bec4862cd83a58b7c28f2a4882417319.png)

(32)

公式 (32) 定义了一个 p 函数，对于输入的键值对，分别会对其进行 RLP 编码。

![(33)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/13e955099eb2afd8eddf83666d653a6b92f768b5c365d3e4947c092827219a58.png)

(33)

*   P(BH) 为父区块的状态。
    
*   Hr 为当前区块最终状态标识。
    

公式 (33) 表达的是，当前区块的世界状态，是由父区块的状态累加上当前区块的最终状态后，储存为 Merkle Patricia 树的根节点哈希。

![(34)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/11625a9c6f5154d739609f96b80f80f0bc18b7bda07d7b2c2f811bbcdc65845d.png)

(34)

公式 (34) 定义了 LH 函数，用于序列化，即是取所有的区块状态字段，并且定义了顺序。

![(31)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/0d6b58aea146dadf0d2a5217fc4e443646138908058a888a333cd083b22eb005.png)

(31)

*   Hr 为当前区块最终状态标识。
    
*   Ho 为叔块列表。
    
*   Ht 为所有块内交易所组成的 Merkle Patricia 树的根节点哈希。
    
*   He 为所有块内交易收据所组成的 Merkle Patricia 树的根节点哈希。
    
*   Hb 为日志的布隆过滤器。
    
*   TT 为区块状态累进函数，后续公式会有详解。
    

公式 (31) 给出了区块最终状态标识的合法性定义：首先将当前状态与累积上区块内所有的交易修改，并将状态储存为 Merkle Patricia 树的根节点哈希（Hr）；将叔块状态列表进行 RLP 编码（Ho）；将区块中所有索引 i 的交易数据进行公式 (32) 编码，并将状态储存为 Merkle Patricia 树的根节点哈希（Ht）；将区块中所有索引 i 的收据数据进行公式 (32) 编码，并将状态储存为 Merkle Patricia 树的根节点哈希（He）；对于任意存在日志，布隆过滤器结果都为真（Hb）。

![(35)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/842f4f05e643bacae855cb358f3d106859ef49bb4ff2bbfe2e1e23843dac3a17.png)

(35)

公式 (35) 定义了 LB 函数，用于序列化，并定义了顺序，LT，LH 函数上文已有阐述。

![(36) (37) (38)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/01cb4f73a31977dcab562fc9553691cc1c092f0be9f481d33bd64140b5328299.png)

(36) (37) (38)

公式 (36) (37) (38) 定义了各种包含在 LH，LT 函数中的字段的类型限制，很直观，就不一一阐述了。

![(40)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/73fe5749035fbed01e1877aa9e2d3f6cc460ec8a763547ee97787835e9746c6f.png)

(40)

*   P(H) 为父区块。
    

公式 (40) 即表达了当前区块的区块号为父区块的区块号 +1 。

![(39)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/64023ebfc8a936c9cde3ad9f4ae045c542360448f99654356ba5c3c12d57ffbe.png)

(39)

*   Hp 为父区块头的 Keccak-256 哈希。
    

公式 (39) 表述了父区块头字段 Hp 的定义，将父区块的状态进行 RLP 编码后，再进行 Keccak-256 哈希。

![(41) - (48)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/0a6bf1935daf36d0eed65371828743a7e1d7bd04e41519a2c64080b26a377d8d.png)

(41) - (48)

*   Hd 为区块的 difficulty 值。
    

上述公式 (41) 区块描述了 difficulty 的定义，当区块为创始块时，Hd 默认为 2^34 。若不是创始块的话，则会取 2^17 （公式(42)）与 P(H)Hd + x \* s2 + E 的最大值。其中 s2 为 homestead 难度参数，用于动态平衡区块间的出块时间，当前区块的 timestamp 与父区块的 timestamp 间隔很近，则该值会变调整为 -99 （公式(44)）。x 为一个与父区块难度值正相关的参数（公式(43)）。E 是一个每间隔十万个区块，就会指数级增长的值，故当区块越来越多时，该值会变大得越来越快，也就是俗称的“难度炸弹”，当这个值非常大时，也就进入了俗称的“冰河时期”，用于激励以太坊切换为 POS 。在 EIP-649 之后，为了减缓“冰河时期”的到来，防止链被“冻结”，让目前的区块数 Hi 减去人为定义的一个 k （公式(47)）值。k 值因不同以太坊版本而不同（公式(48)）。

![(49)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/e7786d7d3e36a09ce5c7ce0a6e6fb248d36ed276b1001ad1cb01610d80741116.png)

(49)

*   Hl 为区块的 Gas Limit 值。
    

公式 (49) 对一个区块 Gas Limit 大小进行了范围限定，与上一个区块的 Gas Limit 相关。

![(50)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/d5b33d7e18a09b3af6100c39ca1facb35272d7f454f3ffa036d496e3d2c7da27.png)

(50)

公式 (50) 限制了当前区块的 timestamp 必须大于父区块的 timestamp 。

![(51)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/66819b280a03a23a45b074450db247bf0826c0a379a2a5b564437d0719ed28ca.png)

(51)

公式 (51) 限定了以太坊工作量证明函数 PoW （会于后面详细展开）的两个输出值 n，m 的范围。PoW 函数接受三个参数，第一个为不包含 nonce 和 mixHash 的新区块头状态，第二个参数为当前区块头 nonce，第三个参数为当前 DAG （用来计算 mixHash 的大型数据集合）。函数会输出一个数组，第一个元素即是 mixHash ，用于证明使用了正确的 DAG 。第二个元素是基于 DAG 和区块头状态的密码学伪随机数。求解时间和难度 Hd 是成正比的。

![(52)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/73d292bffb0b0e0671a9774aad6a2781f61d082642422272bf01011fa760ef76.png)

(52)

公式 (52) 定义了区块头验证函数 V(H)。当各字段同时符合条件时，验证为有效。各内部函数上文已有阐述。

![(53)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/83c3f37b2936fa86caeed3ec0d95b4acec900e11abafbead627c6158f7c2e714.png)

(53)

*   Υ 为账户状态转移函数。
    
*   T 为交易。
    
*   σ 为账户状态。
    

公式 (53) 定义了账户的状态转移，即根据交易而更新状态。

![(54)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/91d2705e0f098ff81ae484fab3d96c51806c8e988c66555bd400c7ce21c722d3.png)

(54)

*   A 为交易子状态。
    
*   A1 为交易日志。
    
*   At 交易所接触过的账户集合。
    
*   Ar 是交易的累计退还 Gas 余额参数，会参与最终退还 Gas 的计算。
    
*   Aa 是交易所访问的账户地址。
    
*   Ak 是交易所以访问的存储键。
    

公式 (54) 定义了交易子状态的组成部分。

![(55)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/1b258d2e08633d88b8b9115b9fbb6ec3e265c249764183b4f57dda7b4e3e4102.png)

(55)

公式 (55) 定义了交易的空子状态。π 为一个预编译地址集合（后文会详细阐述）。

![(56) (57) (58)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/d30b78cee32f76b2bc1c417a1839434da125ada99f81131135b142e8432bf69c.png)

(56) (57) (58)

*   Ti 是交易附带的关联数据。
    
*   Td 初始化的 EVM 字节码序列。
    

公式 (55) 定义了交易的预付 Gas 单价，会根据交易的类型不同而不同。G 的完整定义见黄皮书附录。

![(59)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/5e132d718d25749979edf2fee47fb71833737b75144afce29ebd4f4d197dbf02.png)

(59)

公式 (59) 定义了交易的预付费数量，即愿支付的 Gas 单价 \* Gas 最大数量，加上转账的数量。

![(60)](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/4909ee1afb01fd4373f968753fe55c073f5283601d0df822f99195c5467eef54.png)

(60)

*   S(T) 为发送者账户。
    
*   B(H)l 为该区块能够使用的 Gas 上限。
    
*   l(BR)u 为截止到当前交易，区块内之前的交易已经使用的 Gas 数量。
    

公式 (60) 定义了交易合法性的验证，很直观，公式已在上文阐述。

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*Originally published on [DavidCai.eth](https://paragraph.com/@davidcai/l2X6HlE6G0mmqIemN6gp)*