# Zama: Part 4.1, Simple Brief to TFHE - Building Blocks 

**Published by:** [lordachita](https://paragraph.com/@lordachita/)
**Published on:** 2025-10-12
**URL:** https://paragraph.com/@lordachita/zama-part-4-1-simple-brief-to-tfhe-building-blocks

## Content

สวัสดีครับผู้อ่านทุกๆท่าน หลังจากที่ท่านได้อ่านบทความ Series Part 2.X และ 3.X ผู้อ่านน่าจะพอเห็นประโยชน์ที่ได้รับจาก การใช้งาน products ต่างๆของ Zama แล้ว ไม่มั่นใจว่าผู้อ่านรู้สึกเหมือนผมไหมครับว่าเทคโนโลยี FHE ให้ความรู้สึกเสมือนมายากลสุดพิเศษที่เสกให้พวกเราสามารถคำนวนบนข้อมูลที่ถูกเข้ารหัสไว้ได้ โดยที่ไม่ต้องทำความเข้าใจเบื้องหลัง ที่ถูกสร้างมาอย่างดีด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ที่มีเพียงกลุ่มผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่จะสามารถถอดความและทำความเข้าใจถึงความสวยงามขอมายากลนี้ได้ โดยในบทความนี้ ผมขออนุญาตเป็นตัวแทนที่เคยเจาะลึกภาษานี้มากว่า 4 ปี พาเพื่อนๆมาทำเข้าใจเบื้องหลังถึงแก่นของมายากลอันสุดวิเศษที่ชื่อ TFHE ที่เป็นเบื้องหลังความสำเร็จของ Zama ผ่านมุมมองที่ผู้เขียนได้ลองศึกษามาข้ามปีครับIntroductionทาง Zama ได้แนะนำ Document เกี่ยวกับ TFHE ไว้หลากหลายรูปแบบTFHE deep dive | TFHE-rsTFHE is a fully homomorphic encryption scheme that enables fast homomorphic operations on booleans, integers and reals. By enabling both leveled and bootstrapped operations, TFHE can be used for a wide range of usecases, from homomorphic boolean circuits to homomorphic neural networks.https://docs.zama.aiไม่ว่าจะเป็นรูปแบบของ Blog ทั้งหมด 4 Parts, article และ handbook ซึ่งเขียนไว้ได้ดีทุกรูปแบบ ปัญหาคือไม่ว่าจะเป็นแบบไหน ปัจจุบันผู้เขียนก็ยังไม่เจอรูปแบบที่ friendly กับคนที่อาจจะยังไม่ได้ชำนาญคณิตศาสตร์ (ด้วยลักษณะของความซับซ้อนของคณิตศาสตร์ในการทำ Cryptography) ในบทความนี้ ผู้เขียนจะขมวดบทความ เห็นสั้นและกระชับเพื่อให้ผู้ที่สนใจพอเห็นภาพว่า คณิตศาสตร์เบื้องหลังทำงานอย่างไร โดยวางแผนเขียนบรรยายเพียง 2 หัวข้อหลัก ได้แก่Building Blocks - จะเป็นการอธิบายส่วนประกอบหลักในการทำ encryption/decryption ระหว่าง plaintexts/ciphertextsComputations - จะเป็นการอธิบายวิธีการทำบวกและคูณ ซึ่งรวมถึงวิธีการจัดการ noise ที่เกิดขึ้นจากการคำนวนบนข้อมูลที่ถูกเข้ารหัสแล้วPrerequisiteผู้อ่านควรทราบ arithmetic สำหรับการ programming ในเบื้องต้น (โดยเฉพาะการทำ modulo)Overview1. Building Blocks1.1 Torus and its Discretization Torus หรือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกมันว่าโดนัท เป็นโครงสร้างสุดอัศจรรย์ ที่มีอิทธิพลและมีประโยชน์มากๆสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะฝั่งของ Lie Group ที่มีคุณสมบัติทั้งในเชิงของเลขคณิต (arithmetic) และเชิงเรขาคณิต (geometric) รวมไว้ด้วยกันตัวอย่างประเภทต่างๆของ Lie Group ซึ่งผู้อ่านที่ยังไม่รู้ภาษาคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องใส่ใจ โดย Torus จะเข้ามาช่วยในการจำแนกประเภทของ Lie Group โดยที่เราสามารถสรุปได้ว่า Connected Abelian Compact Lie group นั่นคือ Torus https://www.mathphysicsbook.com/mathematics/lie-groups/โดยเหตุผลหลักๆที่ทำให้ Torus ถูกเรียกว่าโดนัท เพราะว่ามีเคสเฉพาะของมันที่เราสามารถมองเป็นรูปโดนัทได้จริงๅTorus - https://en.wikipedia.org/wiki/Torusโดยในฝั่ง cryptography เราจะโฟกัสบน Torus ที่เป็นวงกลม และมองคุณสมบัติเชิง arithmetic ที่ได้เป็นหลัก ซึ่งจะได้ว่า Torus ตัวนี้เป็นเซ็ต/กลุ่มของส่วนที่เป็นทศนิยมของจำนวนจริง $$\mathbb{T} = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$$ ให้ลองนึกภาพ $$\sqrt(2) = 1.4142…$$ จากนั้นเมื่อเราสนใจส่วนที่เป็นทศนิยมของ sqrt 2 นั่นคือการ modulo 1 บนจำนวนจริง และจะได้ว่า $$\sqrt(2) (mod 1) = (1 + 0.4142…) (mod 1)= 0.4142…$$ โดย Torus สามารถทำการบวกและคูณ scalar (ที่เป็นจำนวนเต็ม) ได้แต่จะยังไม่สามารถนิยามการคูณระหว่างสมาชิกบน Torus ตรงๆได้ ให้ลองพิจารณา 1/2 = 3/2 บน Torus แต่ $$1/2 \times 1/2 = 1/4 \neq 3/4 = 3/2 \times 1/2$$ ซึ่ง Torus จะมีสมมติฐาน Decisional Learning With Errors ที่ว่า “ภายใต้ตัวเลือกที่ดีมากพอ เราจะไม่สามารถจำแนกความแตกต่างระหว่างตัวอย่างที่สุ่มมา (จาก Torus) กับตัวอย่างสุ่มที่ถูก encrypted/noise added มาแล้ว” ทำให้การทำ FHE บน Torus จะมีความปลอดภัยที่ถูกการันตีมาแล้ว ซึ่งการคำนวนบนคอมพิวเตอร์ จะต้องมีการแปลงค่าที่ continuous ให้อยู่ในรูปของ discrete และสามารถกำหนดความแม่นยำ ซึ่งสามารถทำได้ผ่านการทำ Discretization ตัว Torus ยกตัวอย่างตัว sqrt 2 บน Torus ซึ่งสามารถเขียนในรูปของฐาน 10 $$\sqrt(2) (mod 1)= 0.4142… = 4 * 10^{-1} + 1 * 10^{-2} + 4 * 10^{-3} +…$$ โดยหากต้องการทศนิยมเพียงทศนิยม 3 หลัก $$\sqrt(2) (mod 1) \approx 4 * 10^{-1} + 1 * 10^{-2} + 4 * 10^{-3}$$ เราจะสามารถประมาณค่า ผ่าน Discretized Torus ที่ฐาน 10, ทศนิยม 3 หลักได้ $$\mathbb{T}_{10^3} = { 0, \frac{1}{1000},…,\frac{1000-1}{1000} = \frac{999}{1000} }$$ ซึ่งในการทำงานจริง เราจะทำงานบนฐาน 2 ที่มี bit precision 32, 64 หลัก $$\mathbb{T}_{2^\Omega} = { 0, \frac{1}{2^\Omega},…,\frac{2^\Omega-1}{2^\Omega}}, , \Omega = {32, 64}$$ ดังนั้น Discretized Torus (modulo q) จะมีหน้าตา $$\mathbb{T}_{q} = \frac{1}{q} \mathbb{Z} / \mathbb{Z} = { 0, \frac{1}{q}, ... ,\frac{q-1}{q} }$$ ซึ่งเป็น subset ของ Torus แต่ตอนที่ implementation elements บน Discretized Torus จะพิจารณาเซ็ตที่เป็น modulo ของจำนวนเต็ม (หากไม่เห็นภาพให้นึกถึงชั่วโมงในนาฬิกาที่มี 12 เลข พอเป็น 13:00 (บ่ายโมง) ก็จะกลับมาเป็นเลข 1 อีกครั้ง แต่บนเซ็ต modulo 12 จริงๆแล้วจะเริ่มที่ 0 แล้วจบที่ 11 ) ซึ่งคือ $$\mathbb{Z} / q \mathbb{Z} = {0, 1,..., q - 1 }$$ เวลาทำงานจริง เพราะ preserve การบวกและการคูณ scalar คล้ายกับคุณสมบัติ (Discretized) Torus ที่มีอยู่แล้ว ซึ่งเป็นการคำนวนที่เกิดขึ้นบนตัวเศษของเศษส่วนบนนั้น (numerator) 1.2 Encryption and Decryption - Secured by Torus เมื่อเราทำความเข้าใจ Torus และการทำ Discretization แล้ว ขั้นตอนถัดมาจะเข้าสู่ขั้นตอนของการทำ encryption/decryption ผ่านการใช้งาน Torus โดย space เริ่มต้นของข้อมูล plaintext นั้นจะอยู่บน T_p (Discretized Torus, modulo p) เพื่อที่จะเตรียม encrypt ผ่านฟังก์ชั้น TLWE ไปเป็น ciphertext ที่เป็น n-dimensional tuples บน Discretized Torus, modulo q หรือบน $$\mathbb{T}_q^{n} = \underbrace{(\mathbb{T}_q, \ldots, \mathbb{T}_q)}_{n\ \text{times}}$$ โดยที่มี public parameter = {n, \sigma, p, q }\sigma = standard deviation ของ normal distribution ที่ e (noise/error) ถูกหยิบขึ้นมาโดยที่ e < 1/|2p| (สำหรับการทำ decryption)ค่า p หาร q ลงตัว (นั่นคือ set ของ plaintext เป็นซับเซ็ตของ ciphertext หรือตัวส่วน ciphertext มีความละเอียดที่มากกว่า)และมี secret key/private key = s = (s_1,…,s_n) โดยที่ s_i = 0, 1เราจะสร้างวิธี 1. Encryption ของ plaintext \mu บน T_p (ซึ่งเป็นค่าบน T_q ด้วย จากการที่ p หาร q ลงตัว) ผ่านการนำ a_1,…,a_n ที่สุ่มมาจาก T_q มาใช้งานกับค่า b ที่ผ่านการ encrypt แล้ว ผ่านสมการ $$Encrypt_{sk}(\mu) = TLWE_s(\mu) = (a_1,…,a_n,b), \ b = \sum_{i = 1}^{n} (s_i \cdot a_i) + \mu + e$$ โดยความหมายคือการ encrypt บนตัวแปร b คือการที่ private key s ทำหน้าที่สุ่มปิดค่า a_i ที่จะใช้ (เพราะค่า s_i ที่เป็น 0 จะทำให้ผลคูณ s_i, a_i หายไป) เพื่อนำไปรวมกับ plaintext (\mu) เดิมที่มี noise เข้ามา (e) ด้วย 2. Decryption สังเกตุจากสมการด้านบนได้ว่า $$\mu + e = b - \sum_{i = 1}^{n} (s_i \cdot a_i)$$ สมมติให้ $$\mu = \frac{m}{p}$$ ได้เพราะ \mu อยู่ใน T_p เมื่อให้สัญลักษณ์ ⌊ x ⌉ แทนการหาจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงค่า x ที่สุด จึงได้ $$\lfloor p \cdot (\mu + e) \rceil = \lfloor m + p \cdot e \rceil = m + \lfloor p \cdot e \rceil = m$$ เพราะ $$p \cdot e < \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{|p|} \Rightarrow p \cdot e < \frac{1}{2} , , , p \cdot e > - \frac{1}{2}$$ ดังนั้นเราจะได้วิธีการ decrypt ผ่านสมการ $$Decrypt_{sk}(c) = \frac{\lfloor p \cdot (b - \sum_{i = 1}^{n} (s_i \cdot a_i)) \rceil \text{ mod p}}{p}$$ 1.3 Exampleshttps://eprint.iacr.org/2021/1402.pdfจากตัวอย่างดังกล่าว เราจะมี plaintext ในรูปแบบ $$\mathbb{T}_4 = { 0, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} }$$ เป็นวงด้านใน และ ciphertext ในรูปแบบ $$\mathbb{T}_{64} = { 0, \frac{1}{64}, \frac{2}{64}, \frac{3}{64},..., \frac{63}{64}}$$ ซึ่งเป็นวงด้านนอก/ละเอียดกว่า ทำให้ plaintext จะสามารถเขียนได้ในรูปแบบ $${ 0, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4} } ={ 0, \frac{16}{64}, \frac{32}{64}, \frac{48}{64} }$$ โดยที่ noise จะมีค่าได้ตั้งแต่ $$e < \frac{1}{|2p|} = \frac{8}{64} \Rightarrow e = -\frac{7}{64},...,\frac{7}{64}$$ จะทำให้เมื่อนำ plaintext ไปบวกกับค่า noise แล้วจะไม่ตกช่องสีดำที่ไม่สามารถ decrypt ค่าได้ สมมติค่า private key = 0, plaintext = 1/4, error = 3/64 ทำให้เมื่อทำการ encrypt ตัว plaintext จะได้ค่า b จะเป็น plaintext + error = 19/64 และเมื่อจะดำเนินการ decrypt ค่ากลับ ทำให้สามารถดำเนินการที่ค่า b ได้เลย และจะได้ ⌊4 * (19/64)⌉ mod 4 / 4 = ⌊19/16⌉ mod 4 / 4 = 1/4 ค่าเดิมกลับมา2. Computationsท่านผู้อ่านสามารถติดตามได้ในเร็วๆนี้

## Publication Information

- [lordachita](https://paragraph.com/@lordachita/): Publication homepage
- [All Posts](https://paragraph.com/@lordachita/): More posts from this publication
- [RSS Feed](https://api.paragraph.com/blogs/rss/@lordachita): Subscribe to updates
- [Twitter](https://twitter.com/0xlordachita): Follow on Twitter