# 一道有趣的数学证明题

By [Test](https://paragraph.com/@test-33) · 2022-01-29

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来源：《数学分析教程》 中国科学技术大学出版社 page12 作者：常庚哲，史济怀

假设a,b,c是三个给定的实数。令a0=a,b0=b,c0=c，并归纳地定义：

![](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/ca343c5cf9e1507f8157e24c4aff79bd50be742ac07e99a4dba475cea8d8665e.png)

证明：数列{an},{bn},{cn}都有极限，且极限是1/3(a+b+c)。

当然，这个题目非常好证明，而且证明方法多而精彩。

但是这个题目值得分享的地方在于，其几何表述非常有趣。显然，a1就是b0和c0的中点。假设有一个三角形，三个端点分别是a0,b0,c0.

![](https://storage.googleapis.com/papyrus_images/1c67efaf1b688c0a56d783d20998e3fd67000d3e1ac1a2bc42982be0a3b1016b.png)

obviously，从a0到an，这个三角形的面积在不断递减，而且下一个三角形的面积是上一个三角形的一半。由极限的定义可以证明，当n趋向于无穷的时候，这个三角形面积为零。进一步得出结论：an=bn=cn=1/3(a+b+c)。

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