# 所有实数都是代数方程的根吗？

By [Test](https://paragraph.com/@test-33) · 2022-01-29

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代数方程，即

`a0*x^n+a1*x^(n-1)+a2*x^(n-2)+……+an=0`

形式的方程。当然，方程所有项的系数都是整数。写成向量形式就是：

假设A=(a0,a1,a2,...,an) B=(x^n,x^(n-1),...,x,1)

则Atr(B)=0

上述方程的解被称为：代数数。与代数数相对的一类数则被称为：超越数。

显然，有理数都是代数数。对于任意一个有理数p/q而言，他都是一下方程的根：

`qx-p=0`

而常见的无理数基本上都是代数数。如√2、√3等，都是

`ax^2-b=0`

形式的代数方程的根。

因此，长期以来，超越数是被认为（至少在实数范围内）不存在的。

1844年，第一个超越数被Liounvile发现。他证明出，以下形式的数字是超越数（证明过程恕不搬运）

`a1/10+a2/(10^2!)+a3/(10^3!)+a4/(10^4!)+a5/(10^5!)+...`

a0,a1...∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1873年，Hermile证明出e是超越数。1882年，π也被证明出是超越数。

但相比于逐个搜寻超越数，一个更有意义的发现是代数数集合可数性的证明。

对代数方程Atr(B)=0，可以证明一个n阶代数方程在复数范围内必有n个根。

设一个代数方程的高为：

`N=n+|a0|+|a1|+|a2|+...+|an|`

显然，对任何一个确定的N，代数方程的系数组合都是有限的。那么显然，这个方程的可能的解也是有限的。

而N个有限集的并集是一个可数集（即使N→∞）。

所以，所有代数数的集合也是一个可数集。但是实数集是一个不可数集合。所以就有了以下结论：

**代数数的数量远小于超越数**

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