# 如果一个有上下界的数列满足lim(x(n+1)-xn)=0，该数列是否收敛？

By [Test](https://paragraph.com/@test-33) · 2022-01-29

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根据B-W定理，有界数列必然存在可以收敛的子列。

_当然，闭区间套定理也可以证明上述结论。证明思路：无论将整个区间分为多少小份，总存在至少一个区间内，有无数个项。因此，对于任意小的区间，都可以提出一个子列，该子列有无数个项落在该区间中。满足柯西收敛准则，因此是收敛子列_

有收敛子列就意味着存在上下极限（当然，事实上发散数列也存在上下极限，因为∞也可以是上下极限）。

设x的极限点集合为E，而supE=L，infE=l。

当L=l时，该数列显然收敛数列。

当L>l时，假设存在某个数字a∈\[l,L\]，a∉E。那么必然存在一个区间(a-ε,a+ε)⊂\[l,L\]，E与该区间的交集为∅。则存在一个足够大的数值N，当n>N时，xn的值不会落在(a-ε,a+ε)中。但是l和L都能取到。

这就会出现一个矛盾：在区间\[l,a-ε\]和\[a+ε,L\]中都有极限，但是(a-ε,a+ε)中没有（子列的）极限。所以，必然存在i，i+1∈R，xi∈\[l,a-ε\]，x(i+1)∈\[a+ε,L\]，或者相反的情况。这违背了题设条件lim(x(n+1)-xn)=0.因此，子列的极限值必须充满区间\[1,L\]。

所以该数列不一定收敛。举一个例子：数列{an}满足：

an=n/10 n∈\[1,10\] an=3/2-n/20 n∈\[10,30\] an=n/40-3/4 n∈\[30,70\] ……

此时，n的极限就是布满区间\[0,1\].

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