# 为什么裤子前后穿反了不能通过「把裤腰旋转180度」的方式调整？

By [tube](https://paragraph.com/@tube) · 2022-10-13

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我将问题修改一下：除脱裤子之外，不存在一种连续移动的方式，使得左右裤腿互换位置。

显然题主的问题是以上命题的推论。

由于我们能做的只是将裤管曲面（见上图）的边界三个连通分支（分别同胚于圆）贴着两腿、腰臀移动（想象人的两腿、腰无限长），例如卷裤腿边，边卷边移动，我们可以将其视为同伦变换，这说明这三个圆只能在裤管曲面上运动。所以问题的拓扑学表述是：左右两个裤腿边缘是否同伦，即其中一个能否可以在裤管模型上连续形变到另一个。

但是我们知道，两个裤腿边缘岂止不同伦，它们甚至都不同调！（只有算上腰口，它们三个依定向相加，才是零调的）。

所以这种方式一定不存在。

补充一下拓扑细节：

在 3 维空间中挖去同顶点的三条射线，同伦于裤管曲面：

三个圆分别套在三条射线

上，在上述空间内连续形变。

感谢评论区老哥 @图腾 补充。

注：同胚、同伦、同调三者关系：前者可以推出后者，后者推不出前者。这就是用同调证明的依据。关于同调，我之前写过一篇文章三川啦啦啦：定向角度看同调群（一）

看到题主又补充了裙子，这个拓扑结构就更简单了。

裙子一般而言同胚于平环（忽略裙子上可能会有的洞洞），而平环同伦于圆。把人的躯干抽象为一根两端无限延伸的柱子，圆 - 裙子就是在三维空间挖去这样的柱子内连续形变。

啪，沿着这根柱子的方向一压缩，这个空间同伦于平面挖去原点，后者又同伦于圆……

所以圆 - 裙子在同伦型为圆的空间中连续形变，实际上就是圆到圆自身的连续映射，由 Hopf 定理，这种映射可以由映射度

完全分类：

也就是说，你把裙子爱转几圈转几圈，正着转反着转，转到原地起飞都可以。

最后回答一下题主的问题：当把裤腰旋转 180 度，会发生什么？

学过复变的人知道，当你绕含有两个奇点的区域一周积分，相当于你绕两个奇点各转一圈。也就是说，你只能两圈两圈地转。如果只转 180 度——半圈，那么相当于绕两个奇点各半圈。复变和上同调的关系密切，我就不展开了。

现在这个裤腰口相当于大圆，两个绕奇点的小圆（与大圆反向）相当于裤腿边。所以“把裤腰旋转 180 度”只会——裤子裂开。

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*Originally published on [tube](https://paragraph.com/@tube/180)*