Geçen sene Matematik becerimi geliştirmek için Calculus öğrenirken seriler diye bir şeyin varlığıyla karşılaştım aslında serilerin ne olduğunu daha önce liseden biliyordum; ancak bir serinin neye yakınsadığını ya da yakınsayabilirliği üstüne hiçbir fikrim yoktu. Bazı seriler bazı şeylere yakınsayabilir ya da ıraksayabilir bu serinin karakterine bağlıdır. Seriyi meydana getiren rakamların, sayısal işlemler bir araya gelerek oluşturduğu tümsel ifadenin belli bir süre sonra yani limit sonsuza gittikçe bir ifadeye yakınsaması ya da bir ifadeden ıraksaması bana çok ilginç gelmişti.

Bilemiyorum şu an bu yazıyı yazarken bile aklımda geçenleri ve neden serilerin bu kadar önemli olduğunu felsefik yönünü çıkardığım garip anlaşılmaz anlamların tümünü nasıl ifade edebileceğimi bilmiyorum. Yine de en iyi şekilde ifade ederek ilerde bu düşüncelerimin Raskolnikov’un teorisi gibi hatalı olmasından çekinsem bile yazmaya çalışıcam.

Şimdi anlatmaya başlıyorum evet öhm. Seriler bazen limit sonsuza giderken bir şeyden ıraksar

Diyelim ki 1/n serisi limit sonsuza giderken ıraksak mı olur yakınsak mı?

Sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n bu şekilde sonsuza kadar gider bunların toplamını alınca bunun ıraksak bir seri mi yoksa yakınsak bir seri mi olduğunu kolaylıkla görürüz ama kendim oturup bunu hesaplayamam çünkü n sonsuza giderken 1/n hesaplamayı bulmam 100 milyon yılımı alabilir.

Bundan dolayı oturup bilgisayarımda C programlama dilinde 1/n sayısının nereye yakınsayabileceğini kodladım.

#include <stdio.h>

int main() {
    int n;
     int i;
    printf("Enter a value for n: ");
    scanf("%d", &n);

    if (n <= 0) {
        printf("pozitif bir deger lutfen \n");
        return 1; 
    }

    double sum = 0.0;
    for (i = n; ; ++i) {
        sum += 1.0 / i;
        printf("%f\n",sum);
    }

    if (sum < 10) { // Sadece örnek bir sınırlayıcı değer
        printf("The series 1/1 + 1/2 + ... + 1/%d is convergent.\n", n);
    } else {
        printf("The series 1/1 + 1/2 + ... + 1/%d is divergent.\n", n);
    }

    return 0;
}

Bu kodu çalıştırınca farkettim ki bu seri gerçekten de ıraksak bir seriydi; çünkü zaman geçtikçe ifade büyüyordu durmadan günlerce açık bıraksam bile bu böyleydi. Evet çok aptalca günlerce açık bıraktım gerçekten.

Seriler bazen de limit sonsuza giderken yakınsayabilir bir ifadeden gittikçe yakınsar. Örnek vermek gerekirse 1/n^2 ifadesi bu ifadenin ıraksak ya da yakınsak olduğunu anlamak için yukarıdaki işlemlerin aynısını yaptım ve bu sayının π^2 / 6 sayısına yakınsadığını farketmem uzun sürdü.

Çok garip değil mi? 1/n ve 1/n^2 ifadelerinin çok zıt olması bana çok garip gelmişti bu durum gerçekten de ilginçti. İki çok benzer sayının seri karakterlerinin çok zıt olması garip bir durum.

Her seriyi oturup böyle benim gibi saatlerce hesaplayamazsınız çünkü ben bir malım. Çok karmaşık ifadelerle dolu çok karmaşık seriler var. Bunların yakınsak olup olmadığını basit matematiksel işlemlerle ya da kodlarla anlamak imkansızdır. Bunun için matematiksel yöntemler vardır.

Bunlardan bazıları:

Cauchy Kök Kriteri: Eğer bir seri için lim(n->∞) |an|^1/n = L değeri varsa, bu değer 1'den küçükse dizi yakınsak, 1'den büyükse dizi ıraksaktır.

D'Alembert Oran Kriteri: Eğer bir seri için lim(n->∞) |an+1 / an| = L değeri varsa, bu değer 1'den küçükse dizi yakınsak, 1'den büyükse dizi ıraksaktır.

integral Testi, Oran Testi, Limit Testi gibi matematikle kafayı bozmuş matematikçi amcalarımın testleriyle çok pratik işlemlerle bir serinin yakınsak ya da ıraksak olduğunu anlamak çok kolay. Bir çok yöntem daha var ama hepsinden bahsetmek oldukça gereksiz ve konudan sapmak olur.

Asimetrik Risk Felsefesi

Asimetrik risk, genellikle olumsuz olayların veya kayıpların, pozitif etkilerden veya kazançlardan çok daha küçük olduğu durumlar için kullanılır. Yani, aynı büyüklükteki olumlu bir kazanç, olumsuz bir kayıpla karşılaştırıldığında daha çok etkilidir. Bu tür bir risk, yatırımcının kayıplarını minimize etmek kazançlarını devasa şekilde arttırmak için kullanılır.

Mesela, fiyatı 100 dolar olan bir şeye 100 dolar yatırdık. Sonra zaman geçti ve aldığımız şeyin fiyatı 0 oldu kaybımız 100 dolar olur. Başka bir senaryoda aldığımız şey 10 kat arttı o zaman paramız 1000 dolar olur. 100 dolar kaybetmeye karşın 1000 dolar kazanmaya bahis girmiş olduk aslında, bu 10/1’lik bir kazanç. Çok basit şekilde asimetrik risk aslında tam olarak budur.

Asimetrik Risk Ve Serilerin Alakası Üzerine

Asimetrik risk aslında oldukça karmaşık ve birçok detayı içeren bir olgudur. Bu kavram, çok sayıda bilgi ve becerinin bir araya gelmesini gerektirir. Bir yatırımcı, asimetrik risk becerisini geliştirirken, bu karmaşıklığın farkında olmalıdır. Asimetrik risk yönetimi, farklı faktörlerin birbiriyle etkileşimini anlama, analiz etme ve dengeli bir şekilde ele alma yeteneğini gerektirir. Bu beceri, küçük detayların birleşerek büyük bir tümsel olgu oluşturduğunun bilincinde olmayı gerektirir.

Asimetrik risk alabilme becerisi yüksek kişilerin, zenginleşmeye yatkınlığı asimetrik risk alma becerisi olmayan kişilere göre çok ama çok fazladır. Yani Asimetrik risk alma becerisi yüksek bir insanın portföyü X ise limit sonsuza giderken zenginliğe yakınsar. Tam tersine olan kişiler için ise limit sonsuza giderken zenginlikten ıraksar.

Yukarıda ifade ettiğim gibi, bir seriyi oluşturan bileşenlerin toplam karakteri, limit sonsuza gittikçe yakınsayabilir veya ıraksayabilir ve bu tamamen küçük detaylara bağlıdır. Benzer şekilde, bir yatırımcının başarısını belirleyen faktörlerin bir araya gelerek oluşturduğu tümsel karakteri net bir şekilde ifade etmek zor olabilir. Ancak 1/n ve 1/n^2 serilerinin küçük ifade değişikliklerinin büyük sonuç farklılıklarına yol açtığı gibi, başarılı veya başarısız bir yatırımcının profilini şekillendiren küçük detaylar da büyük öneme sahiptir ve bu detaylar arasında asimetrik risk alma yeteneği de önemli bir yere sahiptir.

Yani aslında bu kadar laf kalabalığı arasında doğru yolu bulmak çok küçük şeyleri doğru fark etmekten geçer yani büyük hareketlerle büyük fark yaratmak aslında imkansızdır. Büyük farklar yaratmak için küçük detayların değişimi daha önemlidir. Orta Dünya’da Sauron’u yok eden şey Glorfindel önderliğinde savaşan devasa bir ordu değil Shire’lı küçük bir buçukluk olan, gümüş ve altın ağaçların hala çiçek içinde olduğu dünyanın gençliği ile ilgili bir hikaye kadar uzak görünen bir yılın uzaklarda kalmış bir baharında görev alan Frodo idi Sauron’u yok eden.

Tüm evren bu sırrın ışığında hareket ediyor.

Serilere borçluyum bana bunu anlattıkları için.