此文从无常损失和滑点两个方面，分析 Uniswap 和 Curve （主流自动做市商） 稳定币做市曲线。

滑点有2种定义。本文采用第一种定义方法，反映交易者成交的真实平均损失。

1. （成交平均价格-初始价格）/ 初始价格

2. （成交后价格-初始价格）/ 初始价格

无常损失定义：

1. 有两种选项

   1. 参加流动性挖矿 ==> w10（参与挖矿的资产市值）

   2. 持有资产，不参加流动性挖矿 ==> W11（不参与挖矿的资产市值）

2. 无常损失 = (w10 - w11) / w11

选择什么样的做市曲线，这是一个滑点（交易者）和无常损失（流动性提供者）的权衡利弊。就稳定币而言，我们追求更低的滑点，且绝大多数情况下价格会在1附近波动。Uniswap v3 和 Curve 曲线会是更好的选择，因为他们相当于加个杠杆的uniswap v1/v2 曲线，同样的成交量可以带来更低的滑点。而Uniswap v3 和 Curve 曲线可以通过调整参数（价格区间和A值）达到相似的效果。就现在市场而言（P=[0.9986, 1.0014], A=5000），Curve 能够在价格在1附近提供更好的滑点，而无常损失和Uniswap v3 基本一致。假设稳定币价格不会脱钩，Curve 会是更好的选择。

假设我们从价格为1的点开始做交易

1. 相同的成交量，Curve上的滑点低于Uniswap v1/v2。如果我们单次交易池子里一个币对的99.9999%存量，Curve上的滑点也低于Uniswap v1/v2。对交易者来说，Curve 确实会带来更好的用户体验。

2. Uniswap v3 采用了设置区间的方式来放大流动性。在区间范围内，Uniswap v3上的滑点始终低于Uniswap v1/v2。但只要超出区间，Uniswap v3交易对就失去了流动性，无法交易。

3. Uniswap v3的价格区间的宽窄就类似于Curve曲线中A值带来的杠杆。Uniswap v3所对应的滑点和我们想要的成交数量和资产效率乘数是线性相关的。Curve曲线会随着A值的变大，滑点由线性变得更弯曲。不同的价格区间和不同的A值会带来不同的滑点：

   1. Uniswap v3: [0.8, 1.25]; Curve A =2 （图1）==> Uniswap v3 滑点低

   2. Uniswap v3: [0.8, 1.25]; Curve A =8 （图2）==> 成交量比较小，Curve 滑点低；成交量比较大，Uniswap v3 滑点低

   3. Uniswap v3: [0.8, 1.25]; Curve A =50 （图3）==> 成交量比较小，Curve 滑点低；成交量比较大，Uniswap v3 滑点低

   4. Uniswap v3: [0.9986, 1.0014]; Curve A = 5000【现在市场情况】 （图4）==> 成交量比较小，Curve 滑点低；成交量比较大，Uniswap v3 滑点低。绝大多数情况，同样成交量，Curve 滑点更低。

4. 就现在市场而言 （图4），成交量较小时，Curve 滑点 < Uniswap v3 < Uniswap v1/v2。如果出现出现巨额成交量（超90%）或者池子内一个币的数量偏移90%以上或者严重脱钩（稳定币价格远离1），Uniswap v3 滑点 < Curve < Uniswap v1/v2

此处做了两个重要假设：

1. 池子里只有两个币对（A, B）

2. A和B的初始数量为1:1

结论

1. 同样成交量下，Curve滑点比uniswap v1/v2更低，但是在同样价格变化下，Curve无常损失更大。随着A值增大，Curve滑点越来越低，无常损失也越来越大（图5）。

2. 为达到和uniswap一样的价格，Curve池需要更多的成交量。假设P0=1

   1. A = 1时，一次性交易池内99%的一个币，价格变化99.3%

   2. A = 100时，一次性交易池内99%的一个币，价格变化84.8%

   3. A = 1000时，一次性交易池内99%的一个币，价格变化38%

   4. ==> 因为需要更多的成交量，Curve 很难出现和Uniswap同样的价格。但是假设没有无风险套利机会，Curve 和Uniswap V1/v2 上 是同样的价格，Curve 无常损失更大。

3. 同样成交量下，Uniswap v3滑点比uniswap v1/v2更低，但是同样价格变化下，Uniswap v3无常损失更大。随着价格区间变小，Uniswap v3滑点越来越低，无常损失也越来越大（图6）。

4. 同样是加了杠杆的Uniswap v1/v2仓位， Uniswap v3和Curve 有什么区别呢？

   1. 固定Uniswap v3价格区间为[0.8, 1.25], 我们变化 Curve 的A值，我们可以看到，Uniswap v3 的无常损失曲线是在Curve[A =10] 和Curve[A =100] 之间的。也就是说，通过变化A值，Uniswap v3 和 Curve 的无常损失可以达到类似效果。（图7）

   2. Uniswap v3: [0.9986, 1.0014]; Curve A = 5000【现在市场情况】。就现在市场而言，同样价格变化，Curve 和 Uniswap v3 的无常损失基本一致。（图8）

Python implementation：

https://github.com/June911/AMM_models/blob/main/IM_loss.ipynb

Excel implementation：

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LmWwYa_5OEpGfPKl2IBxMavFlXFAsKBQ8327gtQpnv0/edit?usp=sharing

以下是公式推导

x * y = k = L^2

其中x，y分别代表代币x和y的数量。因为k>0，可以把它定义为L^2

y = L^2 / x ==> dy = - L^2 / x^2 dx ==>  
P = - dy / dx = - (- L^2 / x^2 dx) / dx = L^2 / x^2 = y / x
 
x = L / sqrt(P)
y = L * sqrt(P)

假设流动池里的币对从(x1,y1) 变化到(x2,y2)，而价格从p1变化到p2

w10: wealth at time t1 if participate as UNISWAP LP at time t0 
w11: wealth at time t1 if hold half asset x and half asset y at time t0
p(t1): price for x at time t1 
p(t0): price for x at time t0

Assume r = p(t1) / p(t0)

!!! all the wealth are denominated in y. 

w10 = p(t1) * x1 + y1 
    = p(t1) * L / sqrt(p(t1)) + y1
    = L * sqrt(p(t1)) + y1
    = 2 * L * sqrt(p(t1))

w11 = p(t1) * x0 + y0 【the quantities remain the same】
    = p(t1) * L / sqrt(p(t0)) + y0
    = r * P(t0) * L / sqrt(p(t0)) + y0 
    = r * sqrt(p(t0)) * L + sqrt(p(t0)) * L
    = (1 + r) * sqrt(p(t0)) * L
 
IL = w10 / w11 - 1   
   = 2 * L * sqrt(p(t1)) / ((1 + r) * sqrt(p(t0)) * L) - 1
   = 2 * sqrt(p(t1)) / ((1 + r) * sqrt(p(t0))) - 1 
   = 2 * sqrt(r) / (1 + r) - 1 

what's new:
Pa: low range for x
Pb: up range for x
Pc: current price for x 
Pa < Pc < Pb 

x_v: virtual reserve for x 
y_v: virtual reserve for y 
L: virtual liquidity 

(x + L / sqrt(Pb)) * （y + L * sqrt(Pa)） = L^2 

x_v * y_v =  L^2 
x_v = x + L / sqrt(Pb)
y_v = y + L * sqrt(Pa)

Pc = - dy / dx = y_v / x_v     
x_v = L / sqrt(Pc)
y_v = L * sqrt(Pc)

x = x_v -  L / sqrt(Pb)
  = L / sqrt(Pc) - L / sqrt(Pb)

y = y_v - L * sqrt(Pa)
  = L * sqrt(Pc) - L * sqrt(Pa)

w10: wealth at time t1 if participate as UNISWAP LP at time t0 
w11: wealth at time t1 if hold half asset x and half asset y at time t0

Assume r = p(x1) / p(x0)

假设V3只有一个流动区间

1. V2滑点 = 资本效率乘数 * V3滑点

2. 区间越小， V3滑点越小

实际上，Uniswap v3 是无数个流动性区间累加起来的。每个tick之间对应其单独的流动性，只有这个tick对应的流动性被耗尽，才会进入下一个区间继续寻找流动性。

Curve 是 恒定乘积做市 和 恒定和做市的结合。当 A 取值接近于0时，Curve 曲线 = Uniswap v1/v2 曲线；当 A 取值接近于无穷时，Curve 曲线 = 恒定和做市曲线。A 越大，Curve 曲线越向恒定和做市曲线倾斜。

A ==> 扩增参数（amplification parameter）

D ==> 不变量参数 (StableSwap invariant)

其中，Ann = An^n

假设我们手上有 xi，想去池子换成 xj (=y)。

通过上图的变化，再加上一些简化，我们就可以得到

这个问题就变为，在满足f(y)=0的情况下，求解y。当n=2的时候，此方程有闭式解。当n>3的时候，Curve.fi 用的牛顿迭代法。

由于f’(y) = 2y + (b-D)，我们就可以得出下图的迭代公式了

和计算置换量类似的方法，我们假设x,y不变，对做市曲线求解D。

这里的S = sum(xi)。

其中 Dp 如下图

同样用牛顿迭代法，求解D

现在假设n=2（池子里只有两个币对），x和y

已知x,y求D，这是一个三元方程， 可以通过卡尔达诺公式（Cardano Formula）求解

其中

值得注意的是，假设不添加或删除流动性，D是恒定的。x的变化只会带来y的变化。

已知n=2，n^n =4, 带入之前的置换公式，可以得到

同理，对于y来说，这是一个一元二次方程，可以用求根公式求解。

其中a, b, c 分别为：

我们知道

对等式两边求导得到

即可得到y’的公式

我们知道价格等于边际变化量之比，即p_x = -y’ = -dy / dx。通过上述公式，我们就可以得到置换后价格。

已知 p_x = - y’ = g(x,y)，对任意(x,y)，我们都可以求到其对应的价格。也可以求到平均价格。再利用滑点定义【（成交平均价格-初始价格）/ 初始价格】，即可以求出滑点。

已知做市曲线f(x,y) = 0 和 p_x = - y’ = g(x,y)，两个方程求解两个未知数（x,y），我们就可以求到 x,y 分别关于 D和 p_x 的函数。然后再通过无常损失定义【(w10 - w11) / w11】，即可以求出无常损失。

首先找到 y = f(p,x)，如下图。

然后我们还知道 y = f(x)，所以通过y = f(x) = f(p,x)，我们就可以求解 x = f(p) 。这是一个一元四次方程，不太容易解出来，就没继续了。

**此处考虑另外一种方法画出无常损失曲线。**首先我们假设池子里的初始币对（x,y）数量为1:1，那么对于每个给定的y的数量变化，我都可以得到对应x的数量变化，从而计算得到变化后的价格。已知了初始价格，初始数量，新价格和新数量，我们就可以通过无常损失定义，计算出其无常损失了。为了画出，我们就需要一个y的数量变化的列表【dy= [-99, -98, -97, ……, 99]】，然后计算出当前价格，再计算出无常损失。我们就可以得到一个当前价格和无常损失的一一对应关系列表。即可以画出价格对应的无常损失的曲线。

详细python实现见此：python

详细excel实现见此：excel

！！！在推导Uniswap无常损失时，我们是没有限制初始币对数量的。它的机制，在任何时刻，两个币对的价值都是1:1。所以不管当前池子里数量是什么，我们都可以通过公式直接得出无常损失。而在推导Curve无常损失时，我们假设了初始币对数量为1:1。我们通过初始币对数量求到D=x+y=2x=2y（如果不添加或删除流动性，D不变），再通过成交量就可以求到无常损失。 如果初始币对数量不是1:1，那么同样的价格变化（与1:1的初始状态相比），对应的无常损失会不一样。

https://www.overleaf.com/read/zgcffvfngxcp

https://dev.balancer.fi/resources/pool-math/stable-math

https://atulagarwal.dev/posts/curveamm/stableswap/#mjx-eqn%3Aeqn%3Astableswap

https://alvarofeito.com/articles/curve/

https://pandichef.medium.com/the-slippage-ratio-a-new-metric-to-understand-curve-fis-amm-protocol-fddf0ba4d6c8

https://github.com/curvefi/curve-contract/blob/master/contracts/pools/usdt/StableSwapUSDT.vy

https://uniswap.org/whitepaper.pdf

https://uniswap.org/whitepaper-v3.pdf

https://curve.fi/files/stableswap-paper.pdf

https://medium.com/auditless/impermanent-loss-in-uniswap-v3-6c7161d3b445

此文从无常损失和滑点两个方面，分析 Uniswap 和 Curve （主流自动做市商） 稳定币做市曲线。

滑点有2种定义。本文采用第一种定义方法，反映交易者成交的真实平均损失。

1. （成交平均价格-初始价格）/ 初始价格

2. （成交后价格-初始价格）/ 初始价格

无常损失定义：

1. 有两种选项

   1. 参加流动性挖矿 ==> w10（参与挖矿的资产市值）

   2. 持有资产，不参加流动性挖矿 ==> W11（不参与挖矿的资产市值）

2. 无常损失 = (w10 - w11) / w11

选择什么样的做市曲线，这是一个滑点（交易者）和无常损失（流动性提供者）的权衡利弊。就稳定币而言，我们追求更低的滑点，且绝大多数情况下价格会在1附近波动。Uniswap v3 和 Curve 曲线会是更好的选择，因为他们相当于加个杠杆的uniswap v1/v2 曲线，同样的成交量可以带来更低的滑点。而Uniswap v3 和 Curve 曲线可以通过调整参数（价格区间和A值）达到相似的效果。就现在市场而言（P=[0.9986, 1.0014], A=5000），Curve 能够在价格在1附近提供更好的滑点，而无常损失和Uniswap v3 基本一致。假设稳定币价格不会脱钩，Curve 会是更好的选择。

假设我们从价格为1的点开始做交易

1. 相同的成交量，Curve上的滑点低于Uniswap v1/v2。如果我们单次交易池子里一个币对的99.9999%存量，Curve上的滑点也低于Uniswap v1/v2。对交易者来说，Curve 确实会带来更好的用户体验。

2. Uniswap v3 采用了设置区间的方式来放大流动性。在区间范围内，Uniswap v3上的滑点始终低于Uniswap v1/v2。但只要超出区间，Uniswap v3交易对就失去了流动性，无法交易。

3. Uniswap v3的价格区间的宽窄就类似于Curve曲线中A值带来的杠杆。Uniswap v3所对应的滑点和我们想要的成交数量和资产效率乘数是线性相关的。Curve曲线会随着A值的变大，滑点由线性变得更弯曲。不同的价格区间和不同的A值会带来不同的滑点：

   1. Uniswap v3: [0.8, 1.25]; Curve A =2 （图1）==> Uniswap v3 滑点低

   2. Uniswap v3: [0.8, 1.25]; Curve A =8 （图2）==> 成交量比较小，Curve 滑点低；成交量比较大，Uniswap v3 滑点低

   3. Uniswap v3: [0.8, 1.25]; Curve A =50 （图3）==> 成交量比较小，Curve 滑点低；成交量比较大，Uniswap v3 滑点低

   4. Uniswap v3: [0.9986, 1.0014]; Curve A = 5000【现在市场情况】 （图4）==> 成交量比较小，Curve 滑点低；成交量比较大，Uniswap v3 滑点低。绝大多数情况，同样成交量，Curve 滑点更低。

4. 就现在市场而言 （图4），成交量较小时，Curve 滑点 < Uniswap v3 < Uniswap v1/v2。如果出现出现巨额成交量（超90%）或者池子内一个币的数量偏移90%以上或者严重脱钩（稳定币价格远离1），Uniswap v3 滑点 < Curve < Uniswap v1/v2

此处做了两个重要假设：

1. 池子里只有两个币对（A, B）

2. A和B的初始数量为1:1

结论

1. 同样成交量下，Curve滑点比uniswap v1/v2更低，但是在同样价格变化下，Curve无常损失更大。随着A值增大，Curve滑点越来越低，无常损失也越来越大（图5）。

2. 为达到和uniswap一样的价格，Curve池需要更多的成交量。假设P0=1

   1. A = 1时，一次性交易池内99%的一个币，价格变化99.3%

   2. A = 100时，一次性交易池内99%的一个币，价格变化84.8%

   3. A = 1000时，一次性交易池内99%的一个币，价格变化38%

   4. ==> 因为需要更多的成交量，Curve 很难出现和Uniswap同样的价格。但是假设没有无风险套利机会，Curve 和Uniswap V1/v2 上 是同样的价格，Curve 无常损失更大。

3. 同样成交量下，Uniswap v3滑点比uniswap v1/v2更低，但是同样价格变化下，Uniswap v3无常损失更大。随着价格区间变小，Uniswap v3滑点越来越低，无常损失也越来越大（图6）。

4. 同样是加了杠杆的Uniswap v1/v2仓位， Uniswap v3和Curve 有什么区别呢？

   1. 固定Uniswap v3价格区间为[0.8, 1.25], 我们变化 Curve 的A值，我们可以看到，Uniswap v3 的无常损失曲线是在Curve[A =10] 和Curve[A =100] 之间的。也就是说，通过变化A值，Uniswap v3 和 Curve 的无常损失可以达到类似效果。（图7）

   2. Uniswap v3: [0.9986, 1.0014]; Curve A = 5000【现在市场情况】。就现在市场而言，同样价格变化，Curve 和 Uniswap v3 的无常损失基本一致。（图8）

Python implementation：

https://github.com/June911/AMM_models/blob/main/IM_loss.ipynb

Excel implementation：

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LmWwYa_5OEpGfPKl2IBxMavFlXFAsKBQ8327gtQpnv0/edit?usp=sharing

以下是公式推导

x * y = k = L^2

其中x，y分别代表代币x和y的数量。因为k>0，可以把它定义为L^2

y = L^2 / x ==> dy = - L^2 / x^2 dx ==>  
P = - dy / dx = - (- L^2 / x^2 dx) / dx = L^2 / x^2 = y / x
 
x = L / sqrt(P)
y = L * sqrt(P)

假设流动池里的币对从(x1,y1) 变化到(x2,y2)，而价格从p1变化到p2

w10: wealth at time t1 if participate as UNISWAP LP at time t0 
w11: wealth at time t1 if hold half asset x and half asset y at time t0
p(t1): price for x at time t1 
p(t0): price for x at time t0

Assume r = p(t1) / p(t0)

!!! all the wealth are denominated in y. 

w10 = p(t1) * x1 + y1 
    = p(t1) * L / sqrt(p(t1)) + y1
    = L * sqrt(p(t1)) + y1
    = 2 * L * sqrt(p(t1))

w11 = p(t1) * x0 + y0 【the quantities remain the same】
    = p(t1) * L / sqrt(p(t0)) + y0
    = r * P(t0) * L / sqrt(p(t0)) + y0 
    = r * sqrt(p(t0)) * L + sqrt(p(t0)) * L
    = (1 + r) * sqrt(p(t0)) * L
 
IL = w10 / w11 - 1   
   = 2 * L * sqrt(p(t1)) / ((1 + r) * sqrt(p(t0)) * L) - 1
   = 2 * sqrt(p(t1)) / ((1 + r) * sqrt(p(t0))) - 1 
   = 2 * sqrt(r) / (1 + r) - 1 

what's new:
Pa: low range for x
Pb: up range for x
Pc: current price for x 
Pa < Pc < Pb 

x_v: virtual reserve for x 
y_v: virtual reserve for y 
L: virtual liquidity 

(x + L / sqrt(Pb)) * （y + L * sqrt(Pa)） = L^2 

x_v * y_v =  L^2 
x_v = x + L / sqrt(Pb)
y_v = y + L * sqrt(Pa)

Pc = - dy / dx = y_v / x_v     
x_v = L / sqrt(Pc)
y_v = L * sqrt(Pc)

x = x_v -  L / sqrt(Pb)
  = L / sqrt(Pc) - L / sqrt(Pb)

y = y_v - L * sqrt(Pa)
  = L * sqrt(Pc) - L * sqrt(Pa)

w10: wealth at time t1 if participate as UNISWAP LP at time t0 
w11: wealth at time t1 if hold half asset x and half asset y at time t0

Assume r = p(x1) / p(x0)

假设V3只有一个流动区间

1. V2滑点 = 资本效率乘数 * V3滑点

2. 区间越小， V3滑点越小

实际上，Uniswap v3 是无数个流动性区间累加起来的。每个tick之间对应其单独的流动性，只有这个tick对应的流动性被耗尽，才会进入下一个区间继续寻找流动性。

Curve 是 恒定乘积做市 和 恒定和做市的结合。当 A 取值接近于0时，Curve 曲线 = Uniswap v1/v2 曲线；当 A 取值接近于无穷时，Curve 曲线 = 恒定和做市曲线。A 越大，Curve 曲线越向恒定和做市曲线倾斜。

A ==> 扩增参数（amplification parameter）

D ==> 不变量参数 (StableSwap invariant)

其中，Ann = An^n

假设我们手上有 xi，想去池子换成 xj (=y)。

通过上图的变化，再加上一些简化，我们就可以得到

这个问题就变为，在满足f(y)=0的情况下，求解y。当n=2的时候，此方程有闭式解。当n>3的时候，Curve.fi 用的牛顿迭代法。

由于f’(y) = 2y + (b-D)，我们就可以得出下图的迭代公式了

和计算置换量类似的方法，我们假设x,y不变，对做市曲线求解D。

这里的S = sum(xi)。

其中 Dp 如下图

同样用牛顿迭代法，求解D

现在假设n=2（池子里只有两个币对），x和y

已知x,y求D，这是一个三元方程， 可以通过卡尔达诺公式（Cardano Formula）求解

其中

值得注意的是，假设不添加或删除流动性，D是恒定的。x的变化只会带来y的变化。

已知n=2，n^n =4, 带入之前的置换公式，可以得到

同理，对于y来说，这是一个一元二次方程，可以用求根公式求解。

其中a, b, c 分别为：

我们知道

对等式两边求导得到

即可得到y’的公式

我们知道价格等于边际变化量之比，即p_x = -y’ = -dy / dx。通过上述公式，我们就可以得到置换后价格。

已知 p_x = - y’ = g(x,y)，对任意(x,y)，我们都可以求到其对应的价格。也可以求到平均价格。再利用滑点定义【（成交平均价格-初始价格）/ 初始价格】，即可以求出滑点。

已知做市曲线f(x,y) = 0 和 p_x = - y’ = g(x,y)，两个方程求解两个未知数（x,y），我们就可以求到 x,y 分别关于 D和 p_x 的函数。然后再通过无常损失定义【(w10 - w11) / w11】，即可以求出无常损失。

首先找到 y = f(p,x)，如下图。

然后我们还知道 y = f(x)，所以通过y = f(x) = f(p,x)，我们就可以求解 x = f(p) 。这是一个一元四次方程，不太容易解出来，就没继续了。

**此处考虑另外一种方法画出无常损失曲线。**首先我们假设池子里的初始币对（x,y）数量为1:1，那么对于每个给定的y的数量变化，我都可以得到对应x的数量变化，从而计算得到变化后的价格。已知了初始价格，初始数量，新价格和新数量，我们就可以通过无常损失定义，计算出其无常损失了。为了画出，我们就需要一个y的数量变化的列表【dy= [-99, -98, -97, ……, 99]】，然后计算出当前价格，再计算出无常损失。我们就可以得到一个当前价格和无常损失的一一对应关系列表。即可以画出价格对应的无常损失的曲线。

详细python实现见此：python

详细excel实现见此：excel

！！！在推导Uniswap无常损失时，我们是没有限制初始币对数量的。它的机制，在任何时刻，两个币对的价值都是1:1。所以不管当前池子里数量是什么，我们都可以通过公式直接得出无常损失。而在推导Curve无常损失时，我们假设了初始币对数量为1:1。我们通过初始币对数量求到D=x+y=2x=2y（如果不添加或删除流动性，D不变），再通过成交量就可以求到无常损失。 如果初始币对数量不是1:1，那么同样的价格变化（与1:1的初始状态相比），对应的无常损失会不一样。

https://www.overleaf.com/read/zgcffvfngxcp

https://dev.balancer.fi/resources/pool-math/stable-math

https://atulagarwal.dev/posts/curveamm/stableswap/#mjx-eqn%3Aeqn%3Astableswap

https://alvarofeito.com/articles/curve/

https://pandichef.medium.com/the-slippage-ratio-a-new-metric-to-understand-curve-fis-amm-protocol-fddf0ba4d6c8

https://github.com/curvefi/curve-contract/blob/master/contracts/pools/usdt/StableSwapUSDT.vy

https://uniswap.org/whitepaper.pdf

https://uniswap.org/whitepaper-v3.pdf

https://curve.fi/files/stableswap-paper.pdf

https://medium.com/auditless/impermanent-loss-in-uniswap-v3-6c7161d3b445