在知乎更新了公式系统后,还没写过数学。 趁着自己最近在养病,随便写几个回答。 定义 1 设 是数集,如果存在双射 ,则称 等势。 定义 2 设 是非空集合, 若其与 等势,则称 是有限集; 若其与 等势,则称 是可数无穷集,上面两种情形并称为可数集; 如果上述两条均不成立,则称 是不可数集。 关于可数与不可数的性质,可以参考任何一本实变函数的教程,在这里不再赘述。 命题 1 有不可数无穷多个元素。 证明 假设 中的实数是可数的,也即可以将实数排列为 考虑这样的一个实数 ,且有十进制表示 其中 表示 的第 位小数,且满足与 的第 位小数不同,则 不在上述排列中,矛盾。从而, 有不可数无穷多个元素。 下面证明本问题的一般情况。 命题 2 不可数个正数的求和一定是 。 证明 设 是不可数个正数所构成的数集,考虑求和 。对正整数 ,考虑集合 则 ,且 互不相交。我们断言,一定存在某个 不是有限集,否则 是可数个互不相交的有限集的并,从而至多是可数的,此与 是不可数集矛盾。进一步,有 此即说明 。 另外,仅考虑 之间的实数求和的话,也有更容易的办法,假定读者不是三江方士。 命题 3 之间的...