在知乎更新了公式系统后，还没写过数学。 趁着自己最近在养病，随便写几个回答。 定义 1 设 是数集，如果存在双射 ，则称 等势。 定义 2 设 是非空集合， 若其与 等势，则称 是有限集； 若其与 等势，则称 是可数无穷集，上面两种情形并称为可数集； 如果上述两条均不成立，则称 是不可数集。 关于可数与不可数的性质，可以参考任何一本实变函数的教程，在这里不再赘述。 命题 1 有不可数无穷多个元素。 证明 假设 中的实数是可数的，也即可以将实数排列为 考虑这样的一个实数 ，且有十进制表示 其中 表示 的第 位小数，且满足与 的第 位小数不同，则 不在上述排列中，矛盾。从而， 有不可数无穷多个元素。 下面证明本问题的一般情况。 命题 2 不可数个正数的求和一定是 。 证明 设 是不可数个正数所构成的数集，考虑求和 。对正整数 ，考虑集合 则 ，且 互不相交。我们断言，一定存在某个 不是有限集，否则 是可数个互不相交的有限集的并，从而至多是可数的，此与 是不可数集矛盾。进一步，有 此即说明 。 另外，仅考虑 之间的实数求和的话，也有更容易的办法，假定读者不是三江方士。 命题 3 之间的...