译者：Xiang｜W3.Hitchhiker

• 视频教程 (youtube)

• 幻灯片 (PDF)

运行下面代码块以加载相关变量。像往常一样 - 运行需要一段时间。

from channel import Channel
from field import FieldElement
from merkle import MerkleTree
from polynomial import interpolate_poly, Polynomial
from tutorial_sessions import part1, part2

cp, cp_eval, cp_merkle, channel, eval_domain = part2()
print("Success")

我们在这部分的目标是构建 FRI 层并在其上提交。要获得每一层，我们需要:

1. 为该层生成定义域（来自上一层的定义域）。

2. 为该层生成多项式（从前一层的多项式和定义域）。

3. 评估所述定义域上的所述多项式——这是下一个 FRI 层。

第一个 FRI 定义域只是你在第 1 部分中生成的eval_domain，即一组 8192 阶的陪集(coset)。每个后续 FRI 的定义域都是通过获取前一个 FRI 定义域的前半部分（丢弃后半部分）获得的 , 并对其每个元素进行平方。

正式地 - 我们通过采取以下方式获得了eval_domain：

因此，下一层将是：

请注意，取 eval_domain 中每个元素的后半部分的平方与取前半部分的平方产生的结果完全相同。 对于下一层也是如此。 例如：

print(eval_domain[100] ** 2)
half_domain_size = len(eval_domain) // 2
print(eval_domain[half_domain_size + 100] ** 2)

同样，第三层的定义域将是：

以此类推，等等。

编写一个函数 next_fri_domain ，它将前一个定义域作为参数，并输出下一个。

def next_fri_domain(fri_domain):
    return [x ** 2 for x in fri_domain[:len(fri_domain) // 2]]

跑测试：

# Test against a precomputed hash.
from hashlib import sha256
next_domain = next_fri_domain(eval_domain)
assert '5446c90d6ed23ea961513d4ae38fc6585f6614a3d392cb087e837754bfd32797' == sha256(','.join([str(i) for i in next_domain]).encode()).hexdigest()
print('Success!')

第一个FRI多项式只是组合多项式，即cp

每个后续 FRI 多项式由下式获得：

def next_fri_polynomial(poly,  beta):
    odd_coefficients = poly.poly[1::2]
    even_coefficients = poly.poly[::2]
    odd = beta * Polynomial(odd_coefficients)
    even = Polynomial(even_coefficients)
    return odd + even

跑测试：

next_p = next_fri_polynomial(cp, FieldElement(987654321))
assert '6bff4c35e1aa9693f9ceb1599b6a484d7636612be65990e726e52a32452c2154' == sha256(','.join([str(i) for i in next_p.poly]).encode()).hexdigest()
print('Success!')

def next_fri_layer(poly, domain, beta):

  next_poly = next_fri_polynomial(poly, beta)

  next_domain = next_fri_domain(domain)

  next_layer = [next_poly(x) for x in next_domain]

  return next_poly, next_domain, next_layer

跑测试：

test_poly = Polynomial([FieldElement(2), FieldElement(3), FieldElement(0), FieldElement(1)])
test_domain = [FieldElement(3), FieldElement(5)]
beta = FieldElement(7)
next_p, next_d, next_l = next_fri_layer(test_poly, test_domain, beta)
assert next_p.poly == [FieldElement(23), FieldElement(7)]
assert next_d == [FieldElement(9)]
assert next_l == [FieldElement(86)]
print('Success!')

我们现在已经开发了编写 FriCommit 方法的工具，其中包含主要的 FRI 承诺循环。

它需要以下 5 个参数：

1. 组合多项式，也就是第一个 FRI 多项式，即 - cp。

2. 8192 阶的陪集也是第一个 FRI 定义域，即 - eval_domain。

3. 前者对后者的评估，这也是第一个 FRI 层，即 - cp_eval。

4. 根据这些评估构建的第一棵 Merkle 树（我们将为每个 FRI 层创建一个 Merkle 树），即cp_merkle。

5. 一个信道对象，即channel。

该方法相应地返回 4 个列表：

1. FRI多项式

2. FRI 定义域

3. FRI层

4. FRI Merkle 树

该方法包含一个循环，在每次迭代中我们使用每个列表中的最后一个元素扩展这四个列表。 一旦最后一个 FRI 多项式的次数为 0，即 - 当最后一个 FRI 多项式只是一个常数时，迭代应该停止。 然后它应该通过信道发送这个常数（即 - 多项式的自由项）。 Channel 类仅支持发送字符串，因此请确保在发送之前将你希望通过信道发送的任何内容转换为字符串。

def FriCommit(cp, domain, cp_eval, cp_merkle, channel):    
    fri_polys = [cp]
    fri_domains = [domain]
    fri_layers = [cp_eval]
    fri_merkles = [cp_merkle]
    while fri_polys[-1].degree() > 0:
        beta = channel.receive_random_field_element()
        next_poly, next_domain, next_layer = next_fri_layer(fri_polys[-1], fri_domains[-1], beta)
        fri_polys.append(next_poly)
        fri_domains.append(next_domain)
        fri_layers.append(next_layer)
        fri_merkles.append(MerkleTree(next_layer))
        channel.send(fri_merkles[-1].root)   
    channel.send(str(fri_polys[-1].poly[0]))
    return fri_polys, fri_domains, fri_layers, fri_merkles

跑测试：

test_channel = Channel()
fri_polys, fri_domains, fri_layers, fri_merkles = FriCommit(cp, eval_domain, cp_eval, cp_merkle, test_channel)
assert len(fri_layers) == 11, f'Expected number of FRI layers is 11, whereas it is actually {len(fri_layers)}.'
assert len(fri_layers[-1]) == 8, f'Expected last layer to contain exactly 8 elements, it contains {len(fri_layers[-1])}.'
assert all([x == FieldElement(-1138734538) for x in fri_layers[-1]]), f'Expected last layer to be constant.'
assert fri_polys[-1].degree() == 0, 'Expacted last polynomial to be constant (degree 0).'
assert fri_merkles[-1].root == '1c033312a4df82248bda518b319479c22ea87bd6e15a150db400eeff653ee2ee', 'Last layer Merkle root is wrong.'
assert test_channel.state == '61452c72d8f4279b86fa49e9fb0fdef0246b396a4230a2bfb24e2d5d6bf79c2e', 'The channel state is not as expected.'
print('Success!')

运行以下代码块以使用你的信道对象执行该函数并打印到目前为止的证明：

fri_polys, fri_domains, fri_layers, fri_merkles = FriCommit(cp, eval_domain, cp_eval, cp_merkle, channel)
print(channel.proof) 

译者：Xiang｜W3.Hitchhiker

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• 幻灯片 (PDF)

运行下面代码块以加载相关变量。像往常一样 - 运行需要一段时间。

from channel import Channel
from field import FieldElement
from merkle import MerkleTree
from polynomial import interpolate_poly, Polynomial
from tutorial_sessions import part1, part2

cp, cp_eval, cp_merkle, channel, eval_domain = part2()
print("Success")

我们在这部分的目标是构建 FRI 层并在其上提交。要获得每一层，我们需要:

1. 为该层生成定义域（来自上一层的定义域）。

2. 为该层生成多项式（从前一层的多项式和定义域）。

3. 评估所述定义域上的所述多项式——这是下一个 FRI 层。

第一个 FRI 定义域只是你在第 1 部分中生成的eval_domain，即一组 8192 阶的陪集(coset)。每个后续 FRI 的定义域都是通过获取前一个 FRI 定义域的前半部分（丢弃后半部分）获得的 , 并对其每个元素进行平方。

正式地 - 我们通过采取以下方式获得了eval_domain：

因此，下一层将是：

请注意，取 eval_domain 中每个元素的后半部分的平方与取前半部分的平方产生的结果完全相同。 对于下一层也是如此。 例如：

print(eval_domain[100] ** 2)
half_domain_size = len(eval_domain) // 2
print(eval_domain[half_domain_size + 100] ** 2)

同样，第三层的定义域将是：

以此类推，等等。

编写一个函数 next_fri_domain ，它将前一个定义域作为参数，并输出下一个。

def next_fri_domain(fri_domain):
    return [x ** 2 for x in fri_domain[:len(fri_domain) // 2]]

跑测试：

# Test against a precomputed hash.
from hashlib import sha256
next_domain = next_fri_domain(eval_domain)
assert '5446c90d6ed23ea961513d4ae38fc6585f6614a3d392cb087e837754bfd32797' == sha256(','.join([str(i) for i in next_domain]).encode()).hexdigest()
print('Success!')

第一个FRI多项式只是组合多项式，即cp

每个后续 FRI 多项式由下式获得：

def next_fri_polynomial(poly,  beta):
    odd_coefficients = poly.poly[1::2]
    even_coefficients = poly.poly[::2]
    odd = beta * Polynomial(odd_coefficients)
    even = Polynomial(even_coefficients)
    return odd + even

跑测试：

next_p = next_fri_polynomial(cp, FieldElement(987654321))
assert '6bff4c35e1aa9693f9ceb1599b6a484d7636612be65990e726e52a32452c2154' == sha256(','.join([str(i) for i in next_p.poly]).encode()).hexdigest()
print('Success!')

def next_fri_layer(poly, domain, beta):

  next_poly = next_fri_polynomial(poly, beta)

  next_domain = next_fri_domain(domain)

  next_layer = [next_poly(x) for x in next_domain]

  return next_poly, next_domain, next_layer

跑测试：

test_poly = Polynomial([FieldElement(2), FieldElement(3), FieldElement(0), FieldElement(1)])
test_domain = [FieldElement(3), FieldElement(5)]
beta = FieldElement(7)
next_p, next_d, next_l = next_fri_layer(test_poly, test_domain, beta)
assert next_p.poly == [FieldElement(23), FieldElement(7)]
assert next_d == [FieldElement(9)]
assert next_l == [FieldElement(86)]
print('Success!')

我们现在已经开发了编写 FriCommit 方法的工具，其中包含主要的 FRI 承诺循环。

它需要以下 5 个参数：

1. 组合多项式，也就是第一个 FRI 多项式，即 - cp。

2. 8192 阶的陪集也是第一个 FRI 定义域，即 - eval_domain。

3. 前者对后者的评估，这也是第一个 FRI 层，即 - cp_eval。

4. 根据这些评估构建的第一棵 Merkle 树（我们将为每个 FRI 层创建一个 Merkle 树），即cp_merkle。

5. 一个信道对象，即channel。

该方法相应地返回 4 个列表：

1. FRI多项式

2. FRI 定义域

3. FRI层

4. FRI Merkle 树

该方法包含一个循环，在每次迭代中我们使用每个列表中的最后一个元素扩展这四个列表。 一旦最后一个 FRI 多项式的次数为 0，即 - 当最后一个 FRI 多项式只是一个常数时，迭代应该停止。 然后它应该通过信道发送这个常数（即 - 多项式的自由项）。 Channel 类仅支持发送字符串，因此请确保在发送之前将你希望通过信道发送的任何内容转换为字符串。

def FriCommit(cp, domain, cp_eval, cp_merkle, channel):    
    fri_polys = [cp]
    fri_domains = [domain]
    fri_layers = [cp_eval]
    fri_merkles = [cp_merkle]
    while fri_polys[-1].degree() > 0:
        beta = channel.receive_random_field_element()
        next_poly, next_domain, next_layer = next_fri_layer(fri_polys[-1], fri_domains[-1], beta)
        fri_polys.append(next_poly)
        fri_domains.append(next_domain)
        fri_layers.append(next_layer)
        fri_merkles.append(MerkleTree(next_layer))
        channel.send(fri_merkles[-1].root)   
    channel.send(str(fri_polys[-1].poly[0]))
    return fri_polys, fri_domains, fri_layers, fri_merkles

跑测试：

test_channel = Channel()
fri_polys, fri_domains, fri_layers, fri_merkles = FriCommit(cp, eval_domain, cp_eval, cp_merkle, test_channel)
assert len(fri_layers) == 11, f'Expected number of FRI layers is 11, whereas it is actually {len(fri_layers)}.'
assert len(fri_layers[-1]) == 8, f'Expected last layer to contain exactly 8 elements, it contains {len(fri_layers[-1])}.'
assert all([x == FieldElement(-1138734538) for x in fri_layers[-1]]), f'Expected last layer to be constant.'
assert fri_polys[-1].degree() == 0, 'Expacted last polynomial to be constant (degree 0).'
assert fri_merkles[-1].root == '1c033312a4df82248bda518b319479c22ea87bd6e15a150db400eeff653ee2ee', 'Last layer Merkle root is wrong.'
assert test_channel.state == '61452c72d8f4279b86fa49e9fb0fdef0246b396a4230a2bfb24e2d5d6bf79c2e', 'The channel state is not as expected.'
print('Success!')

运行以下代码块以使用你的信道对象执行该函数并打印到目前为止的证明：

fri_polys, fri_domains, fri_layers, fri_merkles = FriCommit(cp, eval_domain, cp_eval, cp_merkle, channel)
print(channel.proof)